Из семьи рабочего. Окончил ремесленно-техническую школу в Таганроге. Работал учеником слесаря и слесарем в механической мастерской, помощником машиниста железнодорожного депо станции Таганрог. После окончания в 1922 году Высшей стрелково-тактической школы, поступил в Академию им. Фрунзе. Закончив Академию, командовал стрелковым полком, дивизией. Участник Советско-финляндской войны 1939-1940 гг. В годы Великой Отечественной войны командовал дивизией, корпусом, 3-й Ударной и 11- й гвардейской армиями на Калининском и Белорусском фронтах. К.Н. Галицкий сражался под Борисовом и Минском, на Березине и Немане, штурмовал Кенигсберг и Пиллау. За умелое командование армией при штурме Кенигсберга и проявленные при этом личное мужество и героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года генерал-полковнику Галицкому Кузьме Никитовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда». Войну генерал Галицкий закончил взятием крупной военно-морской базы Пиллау и пленением крупной группировки противника на косе Фрише-Нерунг. В Кёнигсберге он организовал сооружение первого в стране мемориала павшим воинам. За время войны был трижды ранен. После ВОВ генерал К.Н. Галицкий командовал войсками Особого Прикарпатского, Одесского и Закавказского Военного округов, а также Северной группой войск. Был депутатом Верховного Совета СССР 2-5 созывов в 1946-1962 годах. В 1962 году ушёл в отставку. Жил в Москве, в Доме на набережной. Скончался 14 марта 1973 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.
Награды: Медаль «Золотая Звезда Героя Советского Союза орденами Ленина, Красного Знамени, Суворова I ст., Кутузова I ст., Богдана Хмельницкого I ст., орденом Красной Звезды, медалями и наградами иностранных государств.